マクスウェルの悪魔 ― 熱力学の第二法則は破れるのか

先に：熱力学の第二法則とは

悪魔の話に入る前に、悪魔が破ってしまう熱力学の第二法則を、ざっくり確認しておきます。

身の回りでは、熱いお茶は放っておくと冷めます。冷たい水は、部屋に置いておけばぬるくなります。熱は、熱いほうから冷たいほうへ流れます。

逆はどうでしょうか。ぬるい水が、勝手に「熱い部分」と「冷たい部分」に分かれることはありません。第二法則は、この「逆向きは勝手には起きない」ということを言っています。

この法則から導かれる大事な結論が、「1つの温度の熱だけから、仕事を取り出し続ける機械は作れない」です。ここで仕事とは、重りを持ち上げたり、車輪を回したりする、力で物を動かすことです。

もしそんな機械があれば、周りの空気や海の熱だけで永遠に動き続けられます。この夢の機械を第二種永久機関と呼びます。第二法則は、第二種永久機関は作れない、と言っています。

温度 T のガスが入った箱と、穴の空いた仕切り板

では、思考実験の設定です。

温度 T のガスが入った箱があるとします。この箱の真ん中に、穴の空いた仕切り板が差し込まれています。

穴はとても小さく、ガスの分子1つがやっと通れるくらいの大きさだとします。

仕切り板を入れた直後は、左の部屋も右の部屋も、同じ温度 T のガスが入っているだけです。分子はあちこちに飛び回っていて、たまたま穴に来た分子は、穴を通って反対側の部屋に移ることもあります。

図の左右の部屋には、赤い粒（速い分子）と青い粒（遅い分子）が、どちらにも混ざっています。

穴の横にスイッチ：押すと穴を閉じたり開いたりできる

さらに、穴の横にはスイッチがあり、それを押すと穴を閉じたり開いたりすることができるとします。

図では、穴をふさぐ小さな扉を黄色で描きました。いまは閉じています。スイッチを押すと扉が横に退いて、穴が開きます。

ここで大事なのは、扉はとても小さく軽いものだと考える点です。扉を開け閉めすること自体には、ほとんどエネルギーがかからないとします。「扉を動かすのに力を使ったから」という理由では、この後に出てくる矛盾は解けません。

ガスの中には、いろいろな速さの分子が飛び交っている

統計力学（たくさんの分子のふるまいを、確率を使って扱う物理学）によると、ガスの分子の質量を m、温度を T とすると、そのガスの中では、様々な速さ v の分子が

に比例する確率で存在していることがわかります。k_B はボルツマン定数という決まった数、\exp は e（約2.718）のべき乗です。

図の右の山がこの形です。山のてっぺんが v = 0 で、そこから離れるほど（速くなるほど）数が減っていきます。ここでの v は、ある1つの向き（たとえば左右）の速さで、右向きならプラス、左向きならマイナスと考えます。

これは、v = 0 のまわりで、様々な速さのガス分子が飛び交っているということです。つまり、同じ温度 T のガスの中にも、速いガス分子もあれば、遅いガス分子もあるのです。

温度とは、分子の動きの激しさ

少し補足します。ガスの温度とは、ガスの分子がどれくらい激しく動いているかの、平均のことです。速い分子が多いほど温度は高く、遅い分子が多いほど温度は低くなります。

図の分子は、震え方で速さを表しています。赤い速い分子は激しく、青い遅い分子はゆっくり震えています。

いまは、左の部屋にも右の部屋にも、赤と青が同じように混ざっています。だから、左右の温度はどちらも同じ T です。

では、この混ざり具合を、誰かが意図的に偏らせることができたらどうなるでしょうか。

穴の近くに、小さな悪魔がいたとする

ここで、仕切り板の穴の近くに小さな悪魔がいたとします。

この悪魔は、穴に近づいてくる分子の速さを見分けることができ、スイッチを押して扉を開け閉めできます。悪魔は次のルールで扉を操作します。

つまり、悪魔は「右側から来た分子は速いものだけ穴を通して左側に移動させ、左側から来た分子は遅いものだけ穴を通して右側に移動させる」とします。

右から速い分子が来た：扉を開けて、左へ通す

右の部屋から、速い分子（赤）が穴に近づいてきました。

悪魔はその速さを見て、「速い」と判断します。ルールどおり、スイッチを押して扉を開けます。速い分子は穴を通って、左の部屋へ移ります。

これで、右の部屋からは速い分子が1つ減り、左の部屋には速い分子が1つ増えました。

左から遅い分子が来た：扉を開けて、右へ通す

次に、左の部屋から、遅い分子（青）が穴に近づいてきました。

悪魔は「遅い」と判断し、扉を開けます。遅い分子は穴を通って、右の部屋へ移ります。

左の部屋からは遅い分子が1つ減り、右の部屋には遅い分子が1つ増えました。

右から遅い分子が来たら：扉を閉じたまま、はね返す

では、右の部屋から遅い分子が来たらどうするか。ルールに合わないので、悪魔は扉を閉じたままにします。分子は扉に当たってはね返り、右の部屋に残ります。

同じように、左の部屋から速い分子が来たときも、扉は閉じたままです。

悪魔は、分子が穴に来るたびにこの判断を繰り返します。1回1回の移動はわずかでも、何度も繰り返せば、左右の部屋の中身は少しずつ偏っていきます。

次第に、左には速い分子、右には遅い分子が集まる

悪魔がこれを続けると、次第に右側には比較的遅い分子だけが残り、左側には速く動くガス分子が集まることになります。

図では、赤い分子が左に、青い分子が右に集まりました。

温度は分子の動きの激しさでした。速い分子が集まった左の部屋は熱く、遅い分子が残った右の部屋は冷たくなります。すなわち、右側の温度を T_R、左側の温度を T_L とすると、

となることを意味します。

最初は左右とも同じ温度 T でした。悪魔は分子を押したり叩いたりしていません。見分けて、扉を開け閉めしただけです。それなのに、熱い部屋と冷たい部屋が勝手にできてしまいました。これは「ぬるい水が勝手に熱い部分と冷たい部分に分かれる」ことと同じで、すでに第二法則とぶつかっています。

温度の差は、圧力の差になる

さらに話を進めます。

気体の圧力・体積・温度の関係を表す理想気体の状態方程式（pV = Nk_BT。p は圧力、V は体積、N は分子の数）を用いると、温度が高いほど圧力が高くなります。温度が高いと分子が激しく動き、壁を強く叩くからです。

T_R < T_L なので、

です。左の部屋のほうが圧力が高いので、仕切り板は左から強く押され、右側の部屋の方向に力

が働きます。S は仕切り板の面積です。図の太い矢印がこの力です。

仕切り板を滑らせて紐をつなぐと、重りを持ち上げられる

この状態で、仕切り板を滑らせられるようにし、そこに適当な紐などをつけるとします。

仕切り板は力 F で右へ動きます。紐を滑車にかけて先に重りをつないでおけば、仕切り板が動くのにつれて、重りが持ち上がります。図では、仕切り板が右へ滑り、緑の重りが上がっていきます。

つまり、F に仕事をさせることができます。

ここで何が起きたかを整理すると、元はと言えば、温度 T のガスが持っていた熱（分子の動き）です。それが、重りを持ち上げるという仕事に変わりました。

熱を仕事に変えた。これは第二種永久機関になってしまう

これは、熱を仕事に変換していて、第二種永久機関をつくったことになるため、ここまでの話でどこかがおかしいわけです。

振り返ると、最初にあったのは、温度 T のガスが入った箱1つだけでした。外から熱いものや冷たいものを持ってきてはいません。そこに悪魔を置いて、扉を開け閉めさせただけで、仕事が取り出せてしまいました。

仕事で重りを持ち上げると、ガスはその分だけエネルギーを失って少し冷えます。でも、周りの空気から熱をもらえば、また同じことができます。これを繰り返せば、周りの熱だけで動き続ける機械、第二種永久機関の完成です。

第二法則は、そんな機械は作れないと言っていました。では、この思考実験のどこが間違っているのでしょうか。扉は軽く、開け閉めにエネルギーはほとんど要らないとしました。だとすると、見落としているのは悪魔そのものです。

悪魔は何をしていたか：見て、覚えて、判断していた

悪魔がしていたことを、もう一度細かく見てみます。

悪魔は、分子についての情報を集め、それを覚え、それを使って判断していました。

近年このギャップを埋めるのに、情報理論が有効であることが示されました。 「情報を扱うこと」そのものにも、物理的なコストがかかる、という考え方です。

記憶はいつか消さなければならない。消すと熱が出る

悪魔の記憶は、無限に大きくはありません。分子を1つ見分けるたびに、記憶に1つ書き込みます。これを続ければ、記憶はいつかいっぱいになります。悪魔が仕事を続けるには、古い記憶を消して空ける必要があります。

ここで効いてくるのが、1961年にランダウアーが示した考え方（ランダウアーの原理）です。

記憶を1ビット消すごとに、最低でも

の熱が外に出る。

ビットとは、0 か 1 かの情報1つ分のことです。

この熱まで勘定に入れると、悪魔が分子をより分けて取り出せる仕事よりも、記憶を消すときに捨てる熱のほうが大きく（少なくとも同じに）なります。差し引きで、ガスの熱だけから仕事を取り出したことにはならず、第二法則は破れていなかったことになります。

ここで説明したのは考え方の骨組みです。「測ること」と「消すこと」のどちらにコストを払うのかといった細部は、研究の中で議論されてきました。

情報理論がギャップを埋めた

マクスウェルの悪魔の謎は、約100年かけて解かれてきました。

こうした研究から、情報と熱の関係を扱う情報熱力学という分野が育ちました。

悪魔の答えを一言でいえば、「情報はタダではない」です。分子をより分けるには情報が要り、情報を扱い続けるには熱を捨てる必要がある。そう考えると、第二法則と悪魔は両立します。

物理と情報は、深くつながっている

このように、理論物理学の様々な場面で、情報理論との関連が意識されるようになってきました。

重力理論の研究で有名なホイーラー（J. Wheeler）は、“it from bit”「物理的実体は情報から生まれる」とさえ言っています。

マクスウェルの悪魔は、「熱」という物理の話と、「情報」という一見まったく別の話が、実は同じ物差しで測れることを教えてくれる例です。温度、エネルギー、そしてビット。これらをつなげて考えることが、現代の物理学の大事な視点の1つになっています。